参数曲线
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相关概念
齐次坐标：齐次坐标到笛卡尔坐标的变换$(x,y,z,w) \Rightarrow (x/w,y/w,z/w)$唯一，反之则不唯一
有理曲线：齐次形式的参数曲线称为有理曲线
连续性
$C^k$连续：$\forall i \le k$,$f(b)$和$g(m)$的$i$阶导数在连接点处相等
几何连续性$G^k$连续有如下等价定义：
以弧长为参数时，$\forall i \le k$,$f(b)$和$g(m)$的$i$阶导数在连接点处相等；
存在两个参数化方式，使得$\forall i \le k$,$f(b)$和$g(m)$的$i$阶导数在连接点处相等；
注意：$C^2$连续一定曲率连续，但曲率连续不一定$C^2$连续
贝赛尔曲线
构建贝赛尔曲线
给定空间中$n+1$个控制点$\mathbf{P}_0, \mathbf{P}_1, \cdots, \mathbf{P}_n$，由这些控制点定义的贝赛尔曲线为
$\mathbf{C}(u)=\sum_{i=0}^n B_{n, i}(u) \mathbf{P}_i$
其中系数定义如下
$B_{n, i}(u)=\frac{n !}{i !(n-i) !} u^i(1-u)^{n-i}=C_n^i u^i(1-u)^{n-i}$
贝塞尔曲线可视为对所有控制点的加权平均
线段$\mathbf{P}_0 \mathbf{P}_1, \mathbf{P}_1 \mathbf{P}2, \cdots, \mathbf{P}{n-1} \mathbf{P}_n$称为legs，按此顺序连接形成控制折线（control polyline）/控制多边形（control polygon）
$B_{n, i}(u)$称为贝塞尔基函数（Bézier basis functions）或伯恩斯坦多项式（Bernstein polynomials）
贝塞尔曲线具有以下性质：
$n$阶贝赛尔曲线由$n+1$个控制点定义
贝塞尔曲线经过$\mathbf{P}_0$和$\mathbf{P}_n$，且在这两点处与控制折线相切
非负性：所有基函数均非负
单位分解（partition of unity）：所有基函数之和为1
凸包性质：贝塞尔曲线完全位于给定控制点的凸包内
变分递减性质（variation diminishing property）：没有一条直线与贝塞尔曲线相交的次数多于与曲线控制折线相交的次数
仿射不变性（affine invariance）：对贝塞尔曲线的仿射变换等价于对控制点的仿射变换
如果$u \in [a,b]$，则可通过变换$\underline{u}=\frac{u-a}{b-a} \in [0, 1]$